riešenie

  1. Úlohu riešime v 5-ovej sústave. Po 3 a 6 prechodoch cyklom bude v premenných:
    1. a=

      2323232

      2323232323232

      b=

      1000

      1000000

      c=

      101010

      101010101010

      a-c=

      2222222

      2222222222222

      2*(a-c)=

      4444444

      4444444444444

      2*(a-c)+1=

      10000000

      10000000000000

      5*b*b=

      10000000

      10000000000000

      2*a-5*b*b-2*c+n=

      2

      5

    tmôžeme vidieť, že 2*(a-c)+1 = 5*b*b a teda výsledok je n-1, t.j. 2, resp. 5.

  1. Pravidlo je 10->01 znamená, že sa vymenia dva susedné prvky, keď nie sú dobre usporiadané, t.j. stlačenie tlačidla znamená jeden prechod BubbleSortom.
    1. stabilné stavy nesmú obsahovať dvojicu 10 vedľa seba, t.j. vyhovujú 0i1N-i čo je teda 21 stavov.
    2. jeden prechod BubbleSortu dostane len jednu 1 na svoje miesto, preto, keďže má stačiť jedno stlačenie, len najľavejšia 1 nebude na svojom mieste, napr. 00010000000111111111, teda pre každý stabilný stav 0i1N-i a pre 0<i<N existuje i rôznych možností, čo je spolu 20*19/2=190. K tomuto výsledku treba pripočítať všetky stabilné stavy, t.j. výsledok je 190+21 = 211.
    1. jedným stlačením tlačidla, t.j. jedným prechodom BubbleSortu sa dostane len jedna 1 na svoje miesto, takže potrebujeme čo najviac 1 nie na svojom mieste, teda jediné riešenie:
      1.    1111111110
        1. 1111111101
        2. 1111111011
        3. 1111110111
        4. 1111101111
        5. 1111011111
        6. 1110111111
        7. 1101111111
        8. 1011111111
        9. 0111111111

  1.  
    1. mravec 4-krát prejde po 7 schodíkoch (6 políčok), pričom sa 2 políčka v každom cykle prejdú 2-krát - spolu je to 4*(7*6-2)=160; v druhom príklade vonkajší cyklus by stačil 3-krát, lebo ďalej sa obchádza stále to isté - teda vnútro cyklu = 20 políčok a spolu 40.
    1. treba list štvorčekového papiera veľkosti 36x36.
  1. Možné riešenie - v premennej v sa vypočíta druhá mocnina vzdialenosti od bodu (100,100):